Question

已知函数f（x）=lnx-ax-1（a∈R，e是自然对数的底数）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，正实数m、n满足m+n=2mn．试比较f（

mn

）与f（

m+n

2

）的大小，并说明理由；
（3）讨论函数F（x）=f（x）+x²，x∈[

1

e

，e]的零点个数．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）先求函数的定义域，再求导，再在定义域内化简不等式f′(x)=

1

x

-a＞0，从而讨论以确定函数的单调区间；
（2）由基本不等式可得m+n=2mn≥2

mn

，从而可求得

m+n

2

≥

mn

≥1；再结合（1）中所判断的函数的单调性比较函数值的大小；
（3）化简函数F（x）=f（x）+x²=lnx+x²-ax-1，从而可得

lnx-1

x

+x=a的解的个数问题，再令h(x)=

lnx-1

x

+x，从而转化为函数值的取值问题，从而解答．

解答： 解：（1）依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=

1

x

-a，令f′(x)=

1

x

-a＞0，得ax＜1，
当a≤0时，ax＜1在（0，+∞）总成立，函数f（x）的增区间是（0，+∞）；
当a＞0时，由ax＜1得x＜

1

a

；
此时函数f（x）的增区间是(0，

1

a

)，减区间是(

1

a

，+∞)；

（2）解：∵m＞0，n＞0，
∴m+n=2mn≥2

mn

，
即mn≥1（当且仅当m=n=1时取等号）
∴

m+n

2

≥

mn

≥1；
由（1）知a=1时，函数f（x）的增区间是（0，1），减区间是（1，+∞）；
∴f(

m+n

2

)≤f(

mn

)；

（3）解：F（x）=lnx+x²-ax-1，由F（x）=0得

lnx-1

x

+x=a；
令h(x)=

lnx-1

x

+x，h′(x)=

2-lnx

x2

+1；
∵

1

e

≤x≤e，
∴-1≤lnx≤1，
∴h′（x）＞0；
∴h（x）在[

1

e

，e]上是增函数，
h(x)min=h(

1

e

)=

1

e

-2e，h(x)max=h(e)=e；
∴当

1

e

-2e≤a≤e时函数F（x）只有一个零点；
当a＜

1

e

-2e或a＞e时函数F（x）没有零点．

点评：本题考查了导数的综合应用，基本不等式的应用，及函数的零点与函数的图象的关系应用，同时考查了分类讨论的思想与转化的思想应用，属于难题．