Question

在三棱椎P-ABC中，PA⊥平面ABC，AC=AB=

3

，BC=

6

，∠PBA=

π

3

，点D，E，F分别是PA、PB、PC上的点并且满足PD：PA=PE：PB=PF：PC=1：3
（Ⅰ）求证：AB⊥DF；
（Ⅱ）设平面ABC与平面AEF所成角为θ，求cosθ的值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明AC⊥AB，PA⊥AB，可得AB⊥平面PAC，即可证明AB⊥DF；
（Ⅱ）以A为原点，AC，AB，AP分别为x，y，z轴建立坐标系，求出面AEF的法向量，即可求cosθ的值．

解答： （Ⅰ）证明：在三角形ABC中，AC=AB=

3

，BC=

6

，
∴AC²+AB²=BC²，
∴AC⊥AB，
∵PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PA⊥AB，
∵PA∩AC=A，
∴AB⊥平面PAC，
∵DF?面PAC，
∴AB⊥DF；
（Ⅱ）解：∵AB=

3

，∠PBA=

π

3

，
∴PA=3，
∵PD：PA=PE：PB=PF：PC=1：3
∴PD=PPF=1，PA=PB=PC=3，
以A为原点，AC，AB，AP分别为x，y，z轴建立坐标系，则A（0，0，0），C（

3

，0，0），B（0，

3

，0），E（0，

3

3

，2），F（

3

3

，0，2）
设平面AEF的法向量为

n

=（x，y，z），则
∵

AE

=（0，

3

3

，2），

AF

=（

3

3

，0，2）
∴

3 3 y+2z=0 3 3 x+2z=0

，∴

n

=（1，1，-

3

6

）．
∵DO⊥平面ABC，
∴平面ABC的法向量为

AP

=（0，0，3）
∵

n

•

AP

=-

3

2

，|

n

|=

5 3

6

，|

AP

|=3，平面ABC与平面AEF所成角为θ，
∴cosθ=|

3 2

5 3 6 •3

|=

1

5

．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查二面角的平面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．