Question

已知函数f（x）=4cosx•sin（x+

π

6

）+2．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

）+3，由正弦函数的周期公式可解得f（x）的最小正周期；
（2）由x∈[-

π

6

，

π

4

]可得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，从而解得2sin（2x+

π

6

）+3∈[2，5]，即可求出f（x）在区间[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=4cosx•sin（x+

π

6

）+2．
=

3

sin2x+cos2x+3
=2sin（2x+

π

6

）+3，
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)+3…（4分）
∴由正弦函数的周期公式可得：T=

2π

2

=π； …（6分）
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

4

]
∴2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]
∴解得：2sin（2x+

π

6

）+3∈[2，5]
∴当x=

π

6

时，f(x)max=5，
当x=-

π

6

时，f(x)min=2…（10分）

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．