Question

已知f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足2bcosA≤2c-

3

a，则f（B）的取值范围（　　）

• A、（-1，

  1

  2

  ]
• B、（-

  3

  2

  ，

  3

  2

  ]
• C、（-

  1

  2

  ，1]
• D、（-

  3

  2

  ，

  1

  2

  ]

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由已知及正弦定理可解得cosB≥

3

2

，可得0＜B≤

π

3

，即有-

π

6

＜2B-

π

6

≤

π

2

，由三角函数的恒等变化化简函数解析式可得f（x）=sin（2x-

π

6

），从而可求f（B）的值．

解答： 解：∵由于f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
又2bcosA≤2c-

3

a，
则由正弦定理得，2sinBcosA≤2sinC-

3

sinA=2sin（A+B）-

3

sinA=2sinAcosB+2cosAsinB-

3

sinA，
则可解得：cosB≥

3

2

，
由B为三角形的内角，
则解得：0＜B≤

π

3

，可得：-

π

6

＜2B-

π

6

≤

π

2

，
故f（B）=sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，1]．
故选：C．

点评：本题考查三角函数的化简和求值，考查三角函数的周期性和单调性，考查解三角形的正弦定理，考查运算能力，属于中档题．