Question

已知函数f（x）=

1

2

sin2x•sinφ+cos²x•cosφ+

1

2

sin（

3

2

π-φ）（0＜φ＜π），其图象过点（

π

6

，

1

2

．）
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间；
（Ⅱ）若x₀∈（

π

2

，π），sinx₀=

3

5

，求f（x₀）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先根据三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．
（Ⅱ）首先根据（Ⅰ）的结果求出三角函数的正弦值和余弦值进一步求出结果．

解答： （本小题满分12分）φ
解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

sin2x•sinφ+

1

2

(1+cos2x)cosφ-

1

2

cosφ
=

1

2

sin2x•sinφ+

1

2

cos2x•cosφ
=

1

2

cos(2x-φ）
由f（x）图象过点（

π

6

，

1

2

）知：
cos(

π

3

-φ)=1(0＜φ＜π)
所以：φ=

π

3

所以f（x）=

1

2

cos(2x-

π

3

)
令2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π（k∈Z）
即：kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

所以：函数f（x）在[0，π]上的单调区间为：[

π

6

，

2π

3

]
（Ⅱ）因为x₀∈（π，2π），sinx0=

3

5

则：cosx0=-

4

5

2x₀∈（π，2π）
则：cos2x0=cos2x0-sin2x0=

7

25

sin2x0=-

24

25

所以f(x0)=

1

2

cos(2x0-

π

3

)=

1

2

(cos2x0cos

π

3

+sin2x0sin

π

3

）=

7-24 3

100

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调区间的确定，三角函数的求值问题，属于基础题型．