Question

用归纳法证明：?n∈N^*，3ⁿ＞n²-

3

2

．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：归纳法,推理和证明

分析：先验证n=1，2，3时的情况，再假设n=k时，原不等式也成立，由此推出n=k+1≥4时，原不等式也成立，根据归纳法原理可知，对?n∈N^*，原不等式成立．

解答： 证明：（1）n=1时，3¹＞1²-

3

2

，
n=2时，3²＞2²-

3

2

，
n=3时，3³＞3²-

3

2

．
（2）假设n=k时，原不等式也成立，即3^k＞k²-

3

2

，
则当n=k+1时，有3^k+1=3•3^k＞3（k²-

3

2

）．
由3（k²-

3

2

）-[（k+1）²-

3

2

]=2k²-2k-4=2（k-2）（k+1）知，
当k≥3时，2（k-2）（k+1）＞0，∴3（k²-

3

2

）＞（k+1）²-

3

2

，
∴3^k+1＞（k+1）²-

3

2

．
即n=k+1≥4时，原不等式成立，
综合（1）、（2）知，对?n∈N^*，3ⁿ＞n²-

3

2

．

点评：本题考查了利用数学归纳法证明不等式，值得注意的是，至少应验证n的前3个值，因为在第（2）部分中，当k≥3时，对不等式放缩才有效．