Question

f（x）满足对一切实数，恒有f（x）+f（-x）=x²且在（-∞，0）上单调递增，若f（2-a）-f（a）＞2-2a，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由条件可令f（x）=g（x）+kx²，求出k，及g（x）的奇偶性，再由f（x）在（-∞，0）上单调递增，通过导数求得g（x）的单调性，再由f（2-a）-f（a）＞2-2a，即为f（2-a）-

(2-a)2

2

＞f（a）-

a2

2

，即有g（2-a）＞g（a），通过单调性即可解得a的范围．

解答： 解：由于f（x）+f（-x）=x²，
可令f（x）=g（x）+kx²，
即有g（x）+kx²+g（-x）+kx²=x²恒成立，
则2k=1，g（-x）+g（x）=0，
则有k=

1

2

，g（x）为奇函数．
即有g（x）=f（x）-

1

2

x²，
当x＜0时，g′（x）=f′（x）-x，由f（x）递增，
则f′（x）＞0，g′（x）＞0，
则有g（x）在x＜0递增，且g（0）=0，
由于g（x）为奇函数，则g（x）在R上递增．
f（2-a）-f（a）＞2-2a，即为
f（2-a）-

(2-a)2

2

＞f（a）-

a2

2

，
即有g（2-a）＞g（a），
则有2-a＞a，解得a＜1，
故a的取值范围是（-∞，1）．

点评：本题考查函数的性质和运用，主要考查函数的奇偶性和单调性的运用解不等式，构造函数g（x）=f（x）-

1

2

x²，求出单调性是解题的关键．