Question

已知函数f（x）=x（a^x+a^-x）（a＞0，a≠1）．
（1）证明f（x）为奇函数；
（2）若f（x）的图象经过点（1，

5

2

），求a的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数的定义，先判断函数f（x）的定义域是否关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，可得结论；
（2）将点（1，

5

2

），代入f（x）=x（a^x+a^-x）可得a+a^-1=

5

2

，解得答案．

解答： （1）证明：∵函数f（x）=x（a^x+a^-x）的定义域R关于原点对称，
且f（-x）=-x（a^x+a^-x）=-f（x），
∴f（x）为奇函数；
（2）解：∵f（x）的图象经过点（1，

5

2

），
∴a+a^-1=

5

2

，
解得：a=2，或a=

1

2

．

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的证明，函数解析式的求法，难度不大，属于基础题．