Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x+a-1（a∈R，a是常数）．
（1）求f（

π

3

）的值；
（2）若函数f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最大值与最小值之和为

3

，求实数a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先通过三角函数关系式的恒等变换求出函数的正弦形式，进一步求出函数的值．
（2）利用（1）的函数关系式进一步利用函数的定义域求出函数的最值，利用函数的最值求出参数的值．

解答： 解：（1）f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x+a-1
=

3

sin2x+cos2x+1+a-1
=

3

sin2x+cos2x+a
=2sin（2x+

π

6

）+a，
所以：f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a，
则：f（

π

3

）=2sin

5π

6

+a=1+a．
（2）由于：x∈[-

π

4

，

π

4

]，
所以：-

π

3

≤2x+

π

6

≤

2π

3

，
则：-

3

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
-

3

+a≤f(x)≤2+a，
由于函数f（x）在[-

π

4

，

π

4

]上的最大值与最小值之和为

3

，
则：-

3

+a+2+a=

3

，
解得：a=

3

-1．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，函数的求值问题，利用函数的定义域求函数的值域，利用函数的最值求参数的值．属于基础题型．