Question

已知函数f（x）=

2

3x

，定义a_n=f（n），b_n=log₃（

1

2

a_n+1）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求满足方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

的正整数n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=f（n）=

2

3n

，可得b_n=-n-1．
（2）由（1）可得

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

．因此方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

，化为

1

2

-

1

n+2

=

25

51

，即可解出．

解答： 解：（1）∵a_n=f（n）=

2

3n

，
∴b_n=log₃（

1

2

a_n+1）=log3(

1

2

×

2

3n+1

)=-n-1．
（2）由（1）可得

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

．
∴方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

，化为(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

=

25

51

，
解得n=49．

点评：本题考查了对数的运算性质、递推式的应用、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．