Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象与y=-

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x²+2x+3的形状相同，开口方向相反，与直线y=x-2的交点坐标为（1，n）和（m，1）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）若该函数在（t-1，+∞）上为增加的，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由二次函数y=ax²+bx+c的图象与y=-

1

2

x²+2x+3的形状相同，开口方向相反，可得a=

1

2

，又由与直线y=x-2的交点坐标为（1，n）和（m，1），代入求出m，n值后，可得b，c的值，进而可得二次函数的解析式；
（2）由（1）可得该函数的对称轴为x=1，结合该函数在（t-1，+∞）上为增函数，可得实数t的取值范围．

解答： 解：（1）∵y=ax²+bx+c的图象与y=-

1

2

x²+2x+3的形状相同，开口方向相反．
∴a=

1

2

，
则y=

1

2

x²+bx+c．…（2分）
又（1，n），（m，1）两点均在直线y=x-2上，
∴

n=1-2 1=m-2

解得：

m=3 n=-1

，
即点（1，-1）和（3，1）均在所求的抛物线上．…（6分）
∴

-1= 1 2 +b+c 1= 9 2 +3b+c.

，
解得

b=-1 c=- 1 2 .

∴这个二次函数的解析式为y=

1

2

x²-x-

1

2

．…（10分）
（2）∵函数f（x）在（t-1，+∞）上为增函数，
且该函数的对称轴为x=1
∴t-1≥1．
∴t≥2．
即实数t的取值范围是[2，+∞）．  …（13分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．