Question

已知函数f（x）=

3

sin（ωx）-cos（ωx）+m（ω＞0，x∈R，m是实数常数）的图象上的一个最高点（

π

3

，1），且与点（

π

3

，1）最近的一个最低点是（-

π

6

，-3）．
（1）求函数f（x）的解析式及其单调递增区间；
（2）在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且

AB

•

BC

=

1

2

ac，求函数f（A）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式为f（x）=2sin（ωx-

π

6

）+m，由题意和周期公式可求T，m，ω，从而解得f（x）解析式，由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由已知及平面向量数量积的运算可得accos（π-B）=-

1

2

ac，根据B的范围可求B，从而可求2A-

π

6

的范围，从而求得函数f（A）的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）=

3

sinωx-cosωx+m，
∴f（x）=2sin（ωx-

π

6

）+m，
∵（

π

3

，1），点（-

π

6

，-3）分别是函数f（x）图象上相邻的最高点和最低点，
∴

T

2

=

π

3

-(-

π

6

)=

π

2

，且m=

1+(-3)

2

=-1，
∴T=π，又ω＞0，于是ω=

2π

T

=2，
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）-1，
∴由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，可解得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间是：[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z．
（2）∵在△ABC中，

AB

•

BC

=-

1

2

ac，
∴accos（π-B）=-

1

2

ac，
∴cosB=

1

2

，又0＜B＜π，
∴B=

π

3

，于是A+C=

2π

3

，
∵0＜A＜

π

2

，0＜C＜

π

2

，
∴

π

6

＜A＜

π

2

，于是

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin(2A-

π

6

)≤1，又f（A）=2sin（2A-

π

6

）-1，
∴0＜f（A）≤1，
∴f（A）的值域为（0，1]．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．