Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-alnx-

1

3

（a∈R，a≠0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导函数，再分类讨论：a＜0时，a＞0时，由此可确定f（x）的单调区间；
（2）只要求出f（x）的最小值，满足f（x）的最小值大于或等于为即可．

解答： 解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=x2-

a

x

=

x3-a

x

，
①当a＜0时，f′(x)=

x3-a

x

＞0恒成立，函数f（x）的递增区间为（0，+∞）；
②当a＞0时，令f′（x）=0，解得x=

3	a

，
当x∈(0，

3	a

)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈(

3	a

，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
综上得：当a＜0时，函数f（x）的递增区间为（0，+∞）；
当a＞0，f（x）单调递减为(0，

3	a

)，f（x）单调递增为（

3	a

，+∞）．
（2）对任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0成立，只需对任意的f（x）_min≥0，
①当a＜0时，f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，∴只需f（1）≥0，而f（1）=

1

3

-aln1-

1

3

=0，
∴a＜0满足题意；
②当0＜a≤1时，0＜

3	a

≤1，f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴只需f（1）≥0，而f（1）=

1

3

-aln1-

1

3

=0，∴0＜a≤1满足题意；
③当a＞1时，

3	a

＞1，f（x）在[1，

3	a

]上是减函数，在[

3	a

，+∞）上是增函数，
∴只需f(

3	a

)≥0即可，而f(

3	a

)＜f(1)=0，∴a＞0不满足题意；
综上，a∈（-∞，0）∪（0，1]．

点评：本题考查导数与函数的单调性以及函数的最值，运用了分类讨论、等价转化思想想同，属于中档题．