Question

数列{a_n}定义是：a₁=1，a₂=2，a₃=3，a_n+3=

an+1an+2+7

an

，n∈N^*，证明：该数列中的项都是整数．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由a₁=1，a₂=2，a₃=3，a_n+3=

an+1an+2+7

an

，n∈N^*，可得a₄=13为整数．利用数学归纳法证明“该数列中的项都是整数”即可．

解答： 证明：∵a₁=1，a₂=2，a₃=3，a_n+3=

an+1an+2+7

an

，n∈N^*，
∴a₄=

a2a3+7

a1

=

2×3+7

1

=13为整数．
下面利用数学归纳法证明：该数列中的项都是整数．
（1）当n=1，2，3，4时，a_n都是整数，命题成立；
（2）假设当n≤k+3（k∈N^*）时，命题成立．
∵a_k+3a_k=a_k+1a_k+2+7，a_k+4a_k+1=a_k+2a_k+3+7，
∴（a_k+4+a_k+2）a_k+1=a_k+3（a_k+a_k+2），
由于等式右边为整数，a_k+1，a_k+2为整数，
则a_k+4必然为整数，
因此当n=k+4时，命题成立．
综上可得：该数列中的项都是整数．

点评：本题考查了递推式的应用、数学归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．