Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=AA₁=2，点E、F分别是AD、BB₁的中点．
（1）求线段EF的长；
（2）求异面直线EF与CA₁所成角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,棱柱的结构特征

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）分别以AD、AB、AA₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出

EF

，由此能求出线段EF的长．
（2）求出

EF

，

CA1

，设异面直线EF与CA₁所成角为θ，cosθ=

| EF • CA1 |

| EF |•| CA1 |

，由此能求出异面直线EF与CA₁所成角的余弦值．

解答： 解：（1）如图，分别以AD、AB、AA₁为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
∵A（0，0，0），D（2，0，0），B（0，4，0），
B₁（0，4，2），E（1，0，0），F（0，4，1），
∴

EF

=（-1，4，1），
∴线段EF的长|

EF

|=

1+16+1

=3

2

．
（2）

EF

=（-1，4，1），
C（2，4，0），A₁（0，0，2），

CA1

=（-2，-4，2），
设异面直线EF与CA₁所成角为θ，
cosθ=

| EF • CA1 |

| EF |•| CA1 |

=

12

3 2 •2 6

=

3

3

．
∴异面直线EF与CA₁所成角的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查线段长的求法，考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要注意线线、线面、面面间的位置关系和性质的合理运用，注意向量法的合理运用．