Question

6．已知定义在R上的奇函数f（x），满足f（x+4）+f（x）=0且在区间[0，2]上是增函数，若函数y=f（x）-k（k＞0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄=（　　）

• A． 4
• B． 8
• C． -4
• D． -8

Answer 1

分析 根据函数的条件，判断函数的周期，利用函数的奇偶性和周期性即可得到结论．

解答 解：∵f（x+4）=-f（x），
∴f（x+8）=-f（x+4）=f（x），
即函数的周期是8，
且f（x+4）=-f（x）=f（-x），
则函数的对称轴为$\frac{x+4-x}{2}$=2，
作出函数f（x）的 简图，
若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，
则四个根分别关于x=2和x=-6对称，
不妨设x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
则x₁+x₂=-12，x₃+x₄=4，
则x₁+x₂+x₃+x₄=-12+4=-8，
故选：D．

点评 本题主要考查方程根的应用，根据条件结合函数的周期性和奇偶性，利用数形结合是解决本题的关键．