Question

2．（1）设x＞0，y＞0，若$\sqrt{2}$是2^x与4^y的等比中项，则①x²+2y²的最小值为$\frac{1}{3}$．②$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．
（2）根据以上两个小题的解答，总结说明含条件等式的求最值问题的解决方法（写出两个）
①二次函数的性质②均值不等式．

Answer 1

分析 （1）先根据等比中项和指数幂的运算性质可得x+2y=1，①根据二次函数的性质即可求出最值，②根据均值不等式即可求出最值，
（2）由（1）直接得到结论．

解答 解：（1）∵$\sqrt{2}$是2^x与4^y的等比中项，
∴4^y•2^x=2，
∴2y+x=1，
①x²+2y²=（1-2y）²+2y²=6y²-4y+1=6（y-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{1}{3}$，当y=$\frac{1}{3}$时，由最小值，最小值为$\frac{1}{3}$，
②$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$）（2y+x）=3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥3+2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{x}{y}}$=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当x=$\sqrt{2}$-1，y=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$取等号，故$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$，
（2）①二次函数的性质，②均值不等式，
故答案为：（1）①$\frac{1}{3}$，②3+2$\sqrt{2}$，
（2）①二次函数的性质，②均值不等式．

点评 本题考查了等比中项，以及最值的问题，关键是掌握二次函数的性质和均值不等式，属于中档题．