Question

14．有下列五个命题：
①函数y=4cos2x，x∈[-10π，10π]不是周期函数；
②已知定义域为R的奇函数f（x），满足f（x+3）=f（x），当x∈（0，$\frac{3}{2}$）时，f（x）=sinπx，则函数f（x）在区间[0，6]上的零点个数是9；
③为了得到函数y=-cos2x的图象，可以将函数y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$；
④已知函数f（x）=x-sinx，若x₁，x₂∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$]且f（x₁）+f（x₂）＞0，则x₁+x₂＞0；
⑤设曲线f（x）=acosx+bsinx的一条对称轴为x=$\frac{π}{5}$，则点（$\frac{2π}{5}$，0）为曲线y=f（$\frac{π}{10}$-x）的一个对称中心．
其中正确命题的序号是①②④⑤．

Answer 1

分析 ①根据周期函数的定义进行判断，
②根据函数奇偶性和周期性的性质，结合函数零点的定义进行求解即可．
③根据三角函数的图象平移变换关系进行判断，
④判断函数的奇偶性和单调性进行证明即可，
⑤由函数的解析式，求出函数的周期，求出函数的对称中心，利用函数的对称性以及函数图象的平移，求出曲线$y=f（\frac{π}{10}-x）$的一个对称点即可．

解答 解：①函数y=4cos2x，x∈[-10π，10π]不是周期函数；正确，
②由f（x+3）=f（x）得函数的周期是3，
当x∈（0，$\frac{3}{2}$）时，f（x）=sinπx，sinπx=0得πx=kπ，则x=k，在x∈（0，$\frac{3}{2}$）内，x=1，只有一个零点，
则f（1）=f（4）=0，
又f（-1）=-f（1）=0，则f（-1）=f（2）=f（5），
∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，则f（0）=f（3）=f（6）=0，
令x=-$\frac{3}{2}$，则f（-$\frac{3}{2}$+3）=f（-$\frac{3}{2}$），即f（$\frac{3}{2}$）=-f（$\frac{3}{2}$），则f（$\frac{3}{2}$）=0，则f（$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{9}{2}$）=0
则函数f（x）在区间[0，6]上的零点为0，1，2，3，4，5，6，$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$，共9个零点，故②正确；
③将函数y=sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象向左平移$\frac{π}{6}$得到y=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$）]=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；而y=-cos2x=cos（π-2x）=sin（$\frac{π}{2}$-π+2x）=sin（2x-$\frac{π}{2}$），故③错误，
④已知函数f（x）=x-sinx，则函数f（x）是奇函数，且函数的导数f′（x）=1-cosx≥0，则f（x）为增函数，
若x₁，x₂∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}}$]且f（x₁）+f（x₂）＞0，得f（x₁）＞-f（x₂）=f（-x₂），即x₁＞-x₂，则x₁+x₂＞0成立；故④正确，
⑤曲线f（x）=acosx+bsinx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x+θ），tanθ=$\frac{a}{b}$，
所以函数的周期为：2π．因为曲线f（x）=acosx+bsinx的一条对称轴为$x=\frac{π}{5}$，
所以函数的一个对称点为：（$\frac{π}{5}-\frac{π}{2}，0$），即（$-\frac{3π}{10}，0$）．
函数y=f（-x）的一个对称中心为（$\frac{3π}{10}，0$），
$y=f（\frac{π}{10}-x）$的图象可以由函数y=f（-x）的图象向右平移$\frac{π}{10}$单位得到的，
所以曲线$y=f（\frac{π}{10}-x）$的一个对称点为（$\frac{3π}{10}+\frac{π}{10}，0$），即$（\frac{2π}{5}，0）$．故⑤正确，
故答案为：①②④⑤．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，函数奇偶性和周期性的应用，综合性较强，有一定的难度．