Question

19．若0＜α＜$\frac{π}{2}$，cos（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{1}{3}$，则cosα=$\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（（$\frac{π}{3}$+α）的值，再利用两角差的余弦公式，求得cosα=cos[（$\frac{π}{3}$+α）-$\frac{π}{3}$]的值．

解答 解：∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，cos（$\frac{π}{3}$+α）=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{π}{3}$+α仍然是锐角，
∴sin（（$\frac{π}{3}$+α）=$\sqrt{{1-cos}^{2}（\frac{π}{3}+α）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
则cosα=cos[（$\frac{π}{3}$+α）-$\frac{π}{3}$]=cos（$\frac{π}{3}$+α）cos$\frac{π}{3}$+sin（$\frac{π}{3}$+α）sin$\frac{π}{3}$
=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{6}+1}{6}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于中档题．