Question

9．（Ⅰ）若t∈R，t≠0时，求复数z=$\frac{1}{t}$+ti的模的取值范围；
（Ⅱ）在复数范围内解关于z方程|z|²+（z+$\overline z$）i=$\frac{3-i}{2+i}$（i为虚数单位）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据复数的模长公式进行求解即可．
（Ⅱ）根据复数方程，利用待定系数法进行求解．

解答 解：（Ⅰ）$|z|=\sqrt{{t^2}+\frac{1}{t^2}}≥\sqrt{2}$
∴复数z=$\frac{1}{t}+ti$的模的取值范围为$[{\sqrt{2}，+∞}）$…（4分）
（Ⅱ）原方程化简为${|z|^2}+（z+\overline z）i=1-i$，…（6分）
设z=x+yi（x，y∈R），代入上述方程得x²+y²+2xi=1-i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}=1\\ 2x=-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}\end{array}\right.$…（9分）
∴原方程的解是$z=-\frac{1}{2}±\frac{{\sqrt{3}}}{2}i$…（10分）

点评 本题主要考查复数的基本运算，考查学生的计算能力．