Question

设，，其中a为非零实常数．
（1）若，，求x；
（2）试讨论函数g（x）在R上的奇偶性与单调性，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式对函数进行整理，再结合特殊角的三角函数值即可得到结论．
（2）先求出函数g（x）的解析式，再通过讨论a得到其奇偶性，并通过举例得到其单调性即可．
解答：解：（1）由已知=，（2分）
由得：，（1分）
∵，（1分）
∴，．         （2分）
（2）由已知，得，（2分）
①∵当时，对于任意的x∈R，总有g（-x）=-x-sin（-2x）=-（x-sin2x）=-g（x），
∴g（x）是奇函数．（2分）（没有过程扣1分）
②当时，∵或g（π）≠±g（-π）等
所以，g（x）既不是奇函数，又不是偶函数．（2分）（没有过程扣1分）
∵，故g（x）不是单调递增函数，（1分）
又∵，故g（x）不是单调递减函数．（1分）
∴g（x）既不是单调递减函数，也不是单调递增函数．             （没举反例扣1分）
注：用求导的方法做对给满分
令g′（x）=1-2cos2x=0⇒，
易得：g（x）在区间上递增，在区间上递减．
点评：本题主要考查三角函数的单调性以及奇偶性．解决这类问题的关键在于对公式的熟练理解以及灵活运用．