Question

如图，AA₁，BB₁为圆柱OO₁的母线，BC是底面圆O的直径，D，E分别是AA₁，CB₁的中点，DE⊥面CBB₁.

(1)证明：DE∥面ABC；
(2)求四棱锥C­ABB₁A₁与圆柱OO₁的体积比．

Answer 1

(1)见解析   (2)

解：(1)证明：连接EO，OA.
∵E，O分别为B₁C，BC的中点，
∴EO∥BB₁.
又DA∥BB₁，且DA＝BB₁＝EO，
∴四边形AOED是平行四边形，
即DE∥OA.又DE?平面ABC，AO?平面ABC，
∴DE∥平面ABC.
(2)由题意知DE⊥平面CBB₁，且由(1)知DE∥AO，
∴AO⊥平面CBB₁，
∴AO⊥BC，
∴AC＝AB.
∵BC是底面圆O的直径，
得CA⊥AB，且AA₁⊥CA，
∴CA⊥平面AA₁B₁B，即CA为四棱锥C­ABB₁A₁的高．
设圆柱高为h，底面半径为r，
则V_OO1＝πr²h，V _C­ABB1A1＝h(r)·(r)＝hr².
∴V_C­ABB1A1∶V _OO1＝.