Question

已知直三棱柱中，，是中点，是中点．

（1）求三棱柱的体积；
（2）求证：；
（3）求证：∥面．

Answer 1

（1）；（2）证明详见解析；（3）证明详见解析.

试题分析：（1）这是一个直三棱柱，直接由体积计算公式即可求解；（2）要证，只须证明面，注意到面与底面垂直且交线为，而依题意又有，由面面垂直的性质可得面，问题得证；（3）要证∥面，有两种思路：一是在平面内找一条直线与平行，这时只须取的中点，连接，证明四边形为平行四边形即可；二是先证经过直线的一个平面与面平行，这时可取中点，连结，，先证明面∥面，再由面面平行的性质即可证明∥面.
试题解析：（1）             3分
（2）∵，∴为等腰三角形
∵为中点，∴                    -4分
∵为直棱柱，∴面面             5分
∵面面，面
∴面                           6分
∴                            7分
（3）取中点，连结，                 8分

∵分别为的中点
∴∥，∥，                     9分

∴面∥面                         11分
面
∴∥面                           12分.