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如图,四边形ABCD中,为正三角形,,AC与BD交于O点.将沿边AC折起,使D点至P点,已知PO与平面ABCD所成的角为,且P点在平面ABCD内的射影落在内.

(Ⅰ)求证:平面PBD;

 (Ⅱ)若已知二面角的余弦值为,求的大小.

 

【答案】

(Ⅰ)见解析(Ⅱ)

【解析】本试题主要是考查了线面垂直的证明,以及二面角的问题的综合运用。

(1)要证平面PBD,关键是证明线线垂直,得到结论。

(2)利用已知条件建立空间直角坐标系,然后表示平面的法向量,然后借助于向量的夹角来得到二面角的平面角的大小。

解:(Ⅰ)易知的中点,则,又

平面

所以平面

(Ⅱ)方法一:以轴,轴,过垂直于平面向上的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系,则,

易知平面的法向量为

设平面的法向量为

则由得,

解得,,令,则

解得,,即,即

,∴,故.

方法二:作,连接

由(Ⅰ)知平面,又平面

,又平面

平面,又平面,∴

即为二面角的平面角

,由平面平面知,

平面,所以平面

所以即为直线与平面所成的角,即

中,

=知,

,又,所以,故.

 

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