Question

19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=2$\sqrt{3}$，AB=AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（Ⅰ）试问当点E在BC的何处时，有EF∥平面PAC；
（Ⅱ）设二面角E-AF-B为30°，求三棱锥A-EBF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形中位线的性质可得，当点E在BC的中点时，有EF∥平面PAC；
（Ⅱ）由题意可得，BC⊥平面PAB，在Rt△PAB中，由PA=2$\sqrt{3}$，AB=2，得PB=4，再结合F为PB的中点，得到三角形ABF为正三角形，找出二面角的平面角，通过求解直角三角形求得BE，再由等积法求得三棱锥A-EBF的体积．

解答 解：（Ⅰ）当点E在BC的中点时，有EF∥平面PAC
事实上，若E为BC中点，又点F是PB的中点，
∴EF为△BPC的中位线，则EF∥PC，
∵PC?面PAC，EF?面PAC，
∴由线面平行的判定可得，EF∥平面PAC；
（Ⅱ）由PA⊥平面ABCD，可得平面PAB⊥平面ABCD，
又四边形ABCD为矩形，即BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，
在Rt△PAB中，由PA=2$\sqrt{3}$，AB=2，得PB=4，
由F为PB的中点，可得BF=2，
取AF中点G，连接BG，则BG⊥AF，
再连接EG，有EG⊥AF，
∴∠EGB为二面角E-AF-B的平面角为30°，
在正三角形ABF中，由边长为2，可得BG=$\sqrt{3}$，
在Rt△EBG中，可得$tan30°=\frac{BE}{BG}=\frac{BE}{2}$，则BE=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴${V}_{A-EBF}={V}_{E-BAF}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查直线和平面平行的判定，考查棱锥体积的求法，训练了等积法求多面体的体积，是中档题．