Question

17．已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆C：x²+y²-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点．
（1）若P（0，-2），求PA、PB的方程．
（2）直线上是否存在点P，使∠BPA=60°，若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解；
（2）假设存在一点使∠BPA=60°，此时∠CPA=30，根据直角三角形性质可知，圆心到直线上P（x，y）点距离为半径2倍，也就是2，可见它小于圆心到直线的最短距离3，可得结论．

解答 解：（1）圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，可化为（x-1）²+（y-1）²=1，表示以C（1，1）为圆心，以1为半径的圆．
∵P（0，-2），
∴PB的方程为x=0；
设PA的方程为y=kx-2，即kx-y-2=0，
圆心到直线的距离d=$\frac{|-k-3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=-$\frac{4}{3}$，∴PA的方程为y=-$\frac{4}{3}$x-2；
（2）假设存在一点使∠BPA=60°，此时∠CPA=30，根据直角三角形性质可知，圆心到直线上P（x，y）点距离为半径2倍，也就是2，可见它小于圆心到直线的最短距离3，因此该点不存在．

点评 本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，判断故当PC最小时，四边形PACB面积最小，是解题的关键．