Question

5．以下说法正确的有①③
①若f（x+2）=f（x-2），x∈R，则函数y=f（x）是周期函数；
②若f（x+2）=-f（x），x∈R，则函数y=f（x）不一定是周期函数；
③若f（x+2）=-f（x），x∈R，且f（x）是奇函数，则直线x=5是函数y=f（x）的一条对称轴；
④若f（x+2）=2f（x），x∈R，且x∈[-1，1]时，$f（x）=cos\frac{πx}{2}$，函数$g（x）=\left\{\begin{array}{l}{e^x}，\;\;\;x≤0\\ lnx，x＞0\end{array}\right.$，则函数y=f（x）-g（x）在区间[-3，3]上有4个零点．

Answer 1

分析 利用周期函数的定义，判断①②③；作函数f（x）与g（x）在[-3，3]上的图象，从而可得函数f（x）与g（x）在[-3，3]上有8个交点，从而解得．

解答 解：①若f（x+2）=f（x-2），x∈R，则f（x+4）=f（x），所以函数y=f（x）是周期函数，正确；
②若f（x+2）=-f（x），x∈R，则f（x+4）=f（x），所以函数y=f（x）是周期函数，不正确；
③若f（x+2）=-f（x），x∈R，且f（x）是奇函数，则f（x+2）=f（-x），x=1是函数y=f（x）的一条对称轴，因为f（x+4）=f（x），所以函数y=f（x）是周期为4的周期函数，所以直线x=5是函数y=f（x）的一条对称轴，正确；
④作函数f（x）与g（x）在[-3，3]上的图象如下，

由图象可知，函数f（x）与g（x）在[-3，3]上有3个交点，则函数y=f（x）-g（x）在区间[-3，3]上有3个零点，不正确．
故答案为①③．

点评 本题考查了函数的周期性、奇偶性，数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的交点的关系应用．