Question

20．有下列说法：
①函数y=$\sqrt{lo{g}_{\frac{1}{2}}（3-2x）}$的定义域是[1，+∞）；
②函数f（x）=log₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）为奇函数；
③已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x（x≤0）}\\{{x}^{-\frac{1}{2}}（x＞0）}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）+m有3个零点，则实数m的取值范围是（-1，0）；
④函数y=log_a（5-ax）在区间[-1，3）上单调递减，则a的范围是（1，$\frac{5}{3}$]；
⑤若函数y=（$\frac{2}{2c+1}$）^-x在R上单调递减，且函数g（x）=lg（2cx²+2x+1）的值域为R，则c的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．
其中正确说法有②③④⑤（填写正确说法是序号）

Answer 1

分析 ①根据函数成立的条件进行求解即可．
②根据函数奇偶性的定义进行判断，
③根据函数与方程之间的关系进行求解判断，
④根据复合函数单调性的性质进行判断，
⑤根据函数单调性以及对数函数的值域的性质进行求解．

解答 解：①要使函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{3-2x＞0}\\{lo{g}_{\frac{1}{2}}（3-2x）≥0}\end{array}\right.$，即0＜3-2x≤1，得1≤x＜$\frac{3}{2}$，即函数y=$\sqrt{lo{g}_{\frac{1}{2}}（3-2x）}$的定义域是[1，$\frac{3}{2}$）；故①错误，
②函数的定义域为（-∞，+∞），∵f（x）=log₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），
∴f（-x）+f（x）=log₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）+log₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=log₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）=log₂（x²+1-x²）=log₂1=0，
即f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数；故②正确，
③已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x（x≤0）}\\{{x}^{-\frac{1}{2}}（x＞0）}\end{array}\right.$，若函数g（x）=f（x）+m有3个零点，
则f（x）+m=0，得-m=f（x），
作出函数f（x）的图象如图：
要使两个函数有三个交点，
则0＜-m＜1，即-1＜m＜0，
即实数m的取值范围是（-1，0）；故③正确，
④函数y=log_a（5-ax）在区间[-1，3）上单调递减，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{5-3a≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，即1＜a≤$\frac{5}{3}$，
即a的范围是（1，$\frac{5}{3}$]；故④正确，
⑤若函数y=（$\frac{2}{2c+1}$）^-x=（$\frac{2c+1}{2}$）^x在R上单调递减，
则0＜$\frac{2c+1}{2}$＜1得-$\frac{1}{2}$＜c＜$\frac{1}{2}$，
∵函数g（x）=lg（2cx²+2x+1）的值域为R，
∴若c=0，则g（x）=lg（2x+1）的值域为R，满足条件．
若c≠0，
则等价为$\left\{\begin{array}{l}{2c＞0}\\{△=4-4c≥0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{c＞0}\\{c≤1}\end{array}\right.$，得0＜c≤1，
综上0＜c＜$\frac{1}{2}$，
则c的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．故⑤正确，
故答案为：②③④⑤．

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的性质，考查学生的综合应用能力，有一定的难度．