Question

11．设x，y，满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，若目标函数z=ax+by（a＞1，b＞2）的最大值为5，则$\frac{1}{a-1}+\frac{4}{b-2}$的最小值为$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数可得a+b=5，然后利用基本不等式求得$\frac{1}{a-1}+\frac{4}{b-2}$的最小值．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-2≤0}\\{x-y≥0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{3x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得A（1，1）．
由z=ax+by（a＞0，b＞0），得y=-$\frac{a}{b}$x+$\frac{z}{b}$，
由图可知，z_max=a+b=5．可得a-1+b-2=2
∴$\frac{1}{a-1}+\frac{4}{b-2}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a-1}+\frac{4}{b-2}$）（a-1+b-2）=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{b-2}{a-1}$+$\frac{4（a-1）}{b-2}$≥$\frac{1}{2}$（5+2$\sqrt{\frac{b-2}{a-1}×\frac{4（a-1）}{b-2}}$）=$\frac{9}{2}$．
当且仅当4a=b+2，并且a+b=5即a=$\frac{7}{5}$，b=$\frac{18}{5}$时上式等号成立．
∴$\frac{1}{a-1}+\frac{4}{b-2}$的最小值为$\frac{9}{2}$．
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．