Question

8．在△ABC中，已知A-C=$\frac{π}{2}$，cosB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
（1）求sinC的值；
（2）若AC=1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用三角形内角和定理、倍角公式、诱导公式即可得出．
（2）利用正弦定理、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，C=π-A-B=π-（$\frac{π}{2}$+C）-B，2C=$\frac{π}{2}$-B，0＜C＜$\frac{π}{4}$，
∴sin2C=cosB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos2C=1-2sin²C=$\frac{1}{3}$，sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）由正弦定理可得：$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{AB}{sinC}$，AB=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{2}$+C，sinA=cosC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
面积S=$\frac{1}{2}$AB•ACsinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了三角形内角和定理、倍角公式、诱导公式、正弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．