Question

13．设a为实数，f（x）=x²+|x-a|+1
（Ⅰ）若f（x）为偶函数，求a的值；
（Ⅱ）对于函数y=m（x），在定义域内给定区间[a，b]，如果存在x₀∈（a，b）满足$m（{x_0}）=\frac{m（b）-m（a）}{b-a}$，则称函数m（x）是区间[a，b]上的平均值函数，x₀是它的一个均值点，如函数y=x²是[-1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有g（x）=-x²+mx+1是[-1，1]上的平均值函数，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据偶函数的定义建立恒等式f（-x）=f（x）在R上恒成立，从而求出a的值即可；
（Ⅱ）利用题目所给的方法进行解答即可．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立，
即（-x）²+|-x-a|+1=x²+|x-a|+1，
化简整理，得ax=0在R上恒成立，
∴a=0
（Ⅱ）因为函数g（x）=-x²+mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数，
所以存在x₀∈（-1，1），使$\frac{g（1）-g（-1）}{1-（-1）}$=g（x₀），
而$\frac{g（1）-g（-1）}{1-（-1）}$=m，存在x₀∈（-1，1），使得g（x₀）=m，
亦即关于x方程-x²+mx+1=m在（-1，1）有解
由-x²+mx+1-m在=0解得x₁=1，x₂=m-1，所以必有-＜m-1＜1
即0＜m＜2． 
所以m取值范围是（0，2）．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的应用，阅读题目的能力，计算的能力，属于综合题．