Question

10．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，动点M在线段C₁D₁上，E、F分别为AD、AB的中点．设异面直线ME与DF所成的角为θ，则sinθ的最小值为$\frac{\sqrt{21}}{5}$．

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设棱长AB=2．设M（x，0，2），x∈[0，2]．可得：cos$＜\overrightarrow{DF}，\overrightarrow{ME}＞$=$\frac{\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{EM}}{|\overrightarrow{DF}||\overrightarrow{EM}|}$．sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{DF}，\overrightarrow{ME}＞}$，利用函数的单调性即可得出．

解答 解：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨设棱长AB=2．则D（2，0，0），E（2，1，0），
F（1，2，0），设M（x，0，2），x∈[0，2]．
$\overrightarrow{DF}$=（-1，2，0），$\overrightarrow{ME}$=（2-x，1，-2），
∴cos$＜\overrightarrow{DF}，\overrightarrow{ME}＞$=$\frac{\overrightarrow{DF}•\overrightarrow{EM}}{|\overrightarrow{DF}||\overrightarrow{EM}|}$=$\frac{x}{\sqrt{5}×\sqrt{5+（2-x）^{2}}}$．
x≠0时，sinθ=$\sqrt{1-\frac{{x}^{2}}{{5（x}^{2}-4x+9）}}$=$\sqrt{1-\frac{1}{5[（\frac{3}{x}-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{5}{9}]}}$≥$\frac{\sqrt{21}}{5}$，当x=2时取等号；x=0时，sinθ=1．
综上可得：sinθ的最小值为$\frac{\sqrt{21}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{21}}{5}$．

点评 本题考查了利用向量的夹角公式求异面直线的夹角、数量积运算性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．