【题目】已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1 , AB=a,AA1=2a,E,F分别是棱AD,CD的中点.
(1)求异面直线BC1与EF所成角的大小;
(2)求四面体CA1EF的体积.
【答案】
(1)解:连接A1C1,
∵E,F分别是棱AD,CD的中点,∴EF∥AC,则EF∥A1C1,
∴∠A1C1B为异面直线BC1与EF所成角.
在△A1C1B中,由AB=a,AA1=2a,得 ,
,
∴cos∠A1C1B= ,
∴异面直线BC1与EF所成角的大小为
(2)解: .
【解析】(1)连接A1C1 , 由E,F分别是棱AD,CD的中点,可得EF∥AC,进一步得到EF∥A1C1 , 可知∠A1C1B为异面直线BC1与EF所成角.然后求解直角三角形得答案;(2)直接利用等体积法把四面体CA1EF的体积转化为三棱锥A1﹣EFC的体积求解.
【考点精析】通过灵活运用异面直线及其所成的角,掌握异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系即可以解答此题.
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【题目】设a,b∈R,函数 ,g(x)=ex(e为自然对数的底数),且函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在x=0处有公共的切线.
(Ⅰ)求b的值;
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅲ)若g(x)>f(x)在区间(﹣∞,0)内恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知双曲线C: =1经过点(2,3),两条渐近线的夹角为60°,直线l交双曲线于A,B两点.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若l过原点,P为双曲线上异于A,B的一点,且直线PA,PB的斜率kPA , kPB均存在,求证:kPAkPB为定值;
(3)若l过双曲线的右焦点F1 , 是否存在x轴上的点M(m,0),使得直线l绕点F1无论怎样转动,都有 =0成立?若存在,求出M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)= sin2x+cos2(
﹣x)﹣
(x∈R).
(1)求函数f(x)在区间[0, ]上的最大值;
(2)在△ABC中,若A<B,且f(A)=f(B)= ,求
的值.
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【题目】已知函数f(x)= (a>0,且a≠1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是( )
A.(0, ]
B.[ ,
]
C.[ ,
]∪{
}
D.[ ,
)∪{
}
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【题目】数列{bn}的前n项和为Sn , 且对任意正整数n,都有 ;
(1)试证明数列{bn}是等差数列,并求其通项公式;
(2)如果等比数列{an}共有2017项,其首项与公比均为2,在数列{an}的每相邻两项ai与ai+1之间插入i个(﹣1)ibi(i∈N*)后,得到一个新数列{cn},求数列{cn}中所有项的和;
(3)如果存在n∈N* , 使不等式 成立,若存在,求实数λ的范围,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知复数z=lg(m2﹣2m﹣2)+(m2+3m+2)i,根据以下条件分别求实数m的值或范围.
(1)z是纯虚数;
(2)z对应的点在复平面的第二象限.
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【题目】已知随机变量X﹣N(1,1),其正态分布密度曲线如图所示,若向正方形OABC中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点个数的估计值为( ) 附:若随机变量ξ﹣N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<ξ≤μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<ξ≤μ+2σ)=0.9544.
A.6038
B.6587
C.7028
D.7539
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