Question

3．设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a₁=1，a_n+1=2S_n+n+1（n∈N^*），数列{b_n}满足b₁=1，b_n=a_n（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）（n≥2，且n∈N^*）．
（1）求证数列{a_n+$\frac{1}{2}$}为等比数列，并求出a_n；
（2）（1）证明：$\frac{1+{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$（n≥2，且n∈N^*）．
（2）证明：（1+$\frac{1}{{b}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{b}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{b}_{n}}$）＜3（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2S_n+n+1化简可得a_n+2+$\frac{1}{2}$=3（a_n+1+$\frac{1}{2}$），从而证明为等比数列，从而求a_n；
（2）由b_n=a_n（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）可求得b_n+1=a_n（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）+1=a_n（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$），b_n+1=a_n+1（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$），从而证明；
（3）①当n=1时，1+$\frac{1}{{b}_{1}}$=2＜3，
②当n≥2时，化简可得1+$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1+{b}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}{b}_{n+1}}{{b}_{n}{a}_{n+1}}$，从而可得（1+$\frac{1}{{b}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{b}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{b}_{n}}$）=2•$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$•$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=2•$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$=2•（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$），从而利用放缩法证明．

解答 证明：（1）∵a_n+1=2S_n+n+1，
∴a_n+2=2S_n+1+n+2，
∴a_n+2-a_n+1=2a_n+1+1，
∴a_n+2+$\frac{1}{2}$=3（a_n+1+$\frac{1}{2}$），
又∵a₁+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，a₂=2S₁+1+1=4，a₂+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$，
∴数列{a_n+$\frac{1}{2}$}是以$\frac{3}{2}$为首项，3为公比的等比数列，
故a_n+$\frac{1}{2}$=$\frac{{3}^{n}}{2}$，
故a_n=$\frac{{3}^{n}}{2}$-$\frac{1}{2}$；
（2）∵b_n=a_n（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$），
∴b_n+1=a_n（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$）+1=a_n（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
b_n+1=a_n+1（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$），
∴$\frac{1+{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$（n≥2，且n∈N^*）．
（3）证明：①当n=1时，1+$\frac{1}{{b}_{1}}$=2＜3，
②当n≥2时，由题意知，b₁=1，b₂=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=4，
∵当n≥2时，$\frac{1+{b}_{n}}{{b}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，
∴1+$\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1+{b}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{{a}_{n}{b}_{n+1}}{{b}_{n}{a}_{n+1}}$，
∴（1+$\frac{1}{{b}_{1}}$）（1+$\frac{1}{{b}_{2}}$）…（1+$\frac{1}{{b}_{n}}$）
=2•$\frac{{a}_{2}{b}_{3}}{{b}_{2}{a}_{3}}$•$\frac{{a}_{3}{b}_{4}}{{b}_{3}{a}_{4}}$•…•$\frac{{a}_{n}{b}_{n+1}}{{b}_{n}{a}_{n+1}}$
=2•$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$•$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$
=2•$\frac{{b}_{n+1}}{{a}_{n+1}}$
=2•（$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n-1}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$）
=2（$\frac{2}{3-1}$+$\frac{2}{{3}^{2}-1}$+…+$\frac{2}{{3}^{n-1}-1}$+$\frac{2}{{3}^{n}-1}$）
=2（1+$\frac{1}{4}$+$\frac{2}{26}$+…+$\frac{2}{{3}^{n-1}-1}$+$\frac{2}{{3}^{n}-1}$）
＜2（1+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=2（1+$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$）
=2（1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$））＜3．

点评 本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及转化思想的应用及放缩法的应用．