Question

13．已知函数$f（x）=-alnx+\frac{{2{a^2}}}{x}+x（a∈R）$．
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）当a＞0时，若函数f（x）在[1，e]上的最小值记为g（a），请写出g（a）的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出f（1），f′（1）的值，代入切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出区间上的最小值即可．

解答 解：（1）∵$f（x）=-alnx+\frac{{2{a^2}}}{x}+x（a∈R）$，
∴${f^'}（x）=-\frac{a}{x}-\frac{{2{a^2}}}{x^2}+1$
当a=1时，$f（x）=-lnx+\frac{2}{x}+x，{f^'}（x）=-\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}+1$，
f（1）=3，k=f′（1）=-2，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：
y-3=-2（x-1）即2x+y-5=0．…（3分）
（2）${f^'}（x）=-\frac{a}{x}-\frac{{2{a^2}}}{x^2}+1=\frac{{{x^2}-ax-2{a^2}}}{x^2}=\frac{（x-2a）（x+a）}{x^2}$，
∵a＞0，x＞0，由f′（x）＞0得x＞2a，由f′（x）＜0得0＜x＜2a，
∴f（x）在（0，2a]上为减函数，在（2a，+∞）上为增函数．…（5分）
①当0＜2a≤1即0＜a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）在[1，e]上为增函数，
∴g（a）=f（1）=2a²+1在（0，2a]上为减函数，在（2a，+∞）上为增函数．…（7分）
②当1＜2a＜e即$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$时，f（x）在[1，2a]上为减函数，在（2a，e]上为增函数，
∴g（a）=f（2a）=-aln（2a）+3a…（9分）
③当2a≥e即a≥$\frac{e}{2}$时，f（x）在[1，e]上为减函数，
∴$g（a）=f（e）=-a+\frac{{2{a^2}}}{e}+e$…（11分）
综上所述，$g（a）=\left\{\begin{array}{l}2{a^2}+1（0＜a≤\frac{1}{2}）\\-aln（2a）+3a（\frac{1}{2}＜a＜\frac{e}{2}）\\-a+\frac{{2{a^2}}}{e}+e（a≥\frac{e}{2}）\end{array}\right.$…（12分）

点评 本题考查了曲线的切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．