Question

8．定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f（x）≥M成立，则称f（x）是D上的有下界函数，其中M称为函数f（x）的一个下界．已知函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}+\frac{a}{{e}^{x}}$（a＞0）．
（1）若函数f（x）为偶函数，求a的值；
（2）求函数f（x）在[lna，+∞）上所有下界构成的集合．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义求出a的值即可；
（2）通过定义证明函数f（x）在区间[lna，+∞）上是增函数，求出函数的最小值，从而求出满足条件的集合即可．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{{e}^{x}}{a}+\frac{a}{{e}^{x}}$（a＞0）是R上的偶函数，f（-x）=f（x），
即$\frac{1}{a}$（e^x-e^-x）=a（$\frac{1}{{e}^{-x}}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$）=a（e^x-e^-x）在R恒成立，
∴$\frac{1}{a}$=a，解得：a=1，（a＞0），
（2）在[lna，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{a}$（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）-a$\frac{{e}^{{x}_{1}}{-e}^{{x}_{2}}}{{e}^{{x}_{1}}{•e}^{{x}_{2}}}$=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）•$（\frac{{e}^{{x}_{1}{+x}_{2}}{-a}^{2}}{a{•e}^{{x}_{1}{+x}_{2}}}）$，
∵y=e^x是增函数，lna≤x₁＜x₂，
∴${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$＜0，∴x₁+x₂＞2lna=lna²，
∴${e}^{{x}_{1}{+x}_{2}}$＞${e}^{l{na}^{2}}$=a²，∴${e}^{{x}_{1}{+x}_{2}}$-a²＞0，
∵a•${e}^{{x}_{1}{+x}_{2}}$＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在[lna，+∞）上是增函数，
∴f（x）_min=f（lna）=$\frac{{e}^{lna}}{a}$+$\frac{a}{{e}^{lna}}$=2，
∴函数f（x）在[lna，+∞）上所有下界构成的集合是（-∞，2]．

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查函数单调性的定义的应用，是一道中档题．