Question

18．已知抛物线C：y²=4x，定点D（m，0）（m＞0），过D作直线l交抛物线C于A，B两点，E是D点关于坐标原点O的对称点．
（I）求证：∠AED=∠BED；
（Ⅱ）是否存在垂直于x轴的直线l′被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值，若存在，求出l′的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （I）要证明∠AED=∠BED，根据直线的倾斜角与斜率的关系，只要证K_AE=-K_BE即可，讨论直线AB的斜率是否存在，设出直线方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，即可得证；
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线，根据垂径定理得性质可知，要使正弦长为定值，则只要圆心到直线的距离为定值即可．

解答 解：（I）证明：当AB垂直x轴时，A、B关于x轴对称，
即有∠AED=∠BED；
当AB存在斜率时，设直线AB：y=k（x-m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），E（-m，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-m）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$可得k²x²-（2k²m+4）x+k²m²=0，
可得x₁+x₂=$\frac{4+2{k}^{2}m}{{k}^{2}}$，x₁x₂=m²，
即有k_AE+k_BE=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+m}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+m}$=$\frac{k（{x}_{1}-m）}{{x}_{1}+m}$+$\frac{k（{x}_{2}-m）}{{x}_{2}+m}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-2k{m}^{2}}{（{x}_{1}+m）（{x}_{2}+m）}$=0，
故k_AE=-k_BE，
所以∠AED=∠BED；
（Ⅱ）假设存在垂直于x轴的直线l′：x=n被以AD为直径的圆截得的弦长恒为定值．
设弦长为a，以AD为直径的圆的圆心为（$\frac{{x}_{1}+m}{2}$，$\frac{{y}_{1}}{2}$），半径为$\frac{1}{2}$AD，
由弦长公式可得a=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{\frac{1}{4}A{D}^{2}-（\frac{{x}_{1}+m}{2}-n）^{2}}$，
即$\frac{1}{4}$a²=$\frac{1}{4}$[（x-m）²+y₁²]-（$\frac{{x}_{1}+m}{2}$-n）²
=$\frac{1}{4}$[（x-m）²+4x₁]-（$\frac{{x}_{1}+m}{2}$-n）²
=（n-m+1）x₁+mn-n²，
当m=1时，弦长不恒为定值，则不存在直线l'；
当m＞1时，存在直线l'：x=m-1，即n=m-1，
弦长恒为定值2$\sqrt{m-1}$．

点评 本题以向量得数量积得坐标表示为载体考查了圆锥曲线得求解及直线与圆、圆锥曲线的位置关系得求解．属于综合试题．