Question

6．已知△OBC为等边三角形，O为坐标原点，B，C在抛物线y²=2px（p＞0）上，则△OBC的周长为12$\sqrt{3}$p．

Answer 1

分析 设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由于|OA|=|OB|，可得x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．代入化简可得：x₁=x₂．由抛物线对称性，知点B、C关于x轴对称．不妨设直线OB的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，与抛物线方程联立解出即可得出．

解答 解：设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵|OA|=|OB|，∴x₁²+y₁²=x₂²+y₂²．
又∵y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
∴x₂²-x₁²+2p（x₂-x₁）=0，
即（x₂-x₁）（x₁+x₂+2p）=0．
又∵x₁、x₂与p同号，∴x₁+x₂+2p≠0．
∴x₂-x₁=0，即x₁=x₂．
由抛物线对称性，知点B、C关于x轴对称．
不妨设直线OB的方程为：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，解得B$（6p，2\sqrt{3}p）$．
∴△OBC的周长=$6×2\sqrt{3}p$=12$\sqrt{3}$p．
故答案为：12$\sqrt{3}$p．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．