Question

16．已知下列三个方程：x²+2ax+2a+3=0，x²+2（a+1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-1]∪[2，+∞）
• B． （-1，2）
• C． （-∞，-1]∪[-$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （-1，-$\frac{1}{2}$）

Answer 1

分析 至少有一个方程有实根的对立面是三个方程都没有根，由于正面解决此问题分类较多，而其对立面情况单一，故求解此类问题一般先假设没有一个方程有实数根，然后由根的判别式解得三方程都没有根的实数a的取值范围，其补集即为个方程 x²+2ax+2a+3=0，x²+2（a+1）x+a²=0，x²+2ax-2a=0至少有一个方程有实根成立的实数a的取值范围．此种方法称为反证法

解答 解：假设没有一个方程有实数根，则：$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}-4（2a+3）＜0}\\{4（a+1）^{2}-4{a}^{2}＜0}\\{4{a}^{2}+8a＜0}\end{array}\right.$
解之得：-1＜a＜-$\frac{1}{2}$，
故三个方程至少有一个方程有实根的a的取值范围是（-∞，-1]∪[-$\frac{1}{2}$，+∞），
故选：C．

点评 本题考查反证法，解题时要合理地运用反证法的思想灵活转化问题，以达到简化解题的目的，在求解如本题这类存在性问题时，若发现正面的求解分类较繁，而其对立面情况较少，不妨如本题采取求其反而成立时的参数的取值范围，然后求此范围的补集，即得所求范围，本题中三个方程都是一元二次方程，故求解时注意根的判别式的运用．