Question

6．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（$\frac{7π}{12}$，0），求θ的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据已知中函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（$\frac{7π}{12}$，-1）代入解析式，结合|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求出φ值，进而求出函数的解析式．
（2）由（1）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得g（x），令2x+2θ+$\frac{π}{3}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$-θ，k∈Z，令$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$-θ=$\frac{7π}{12}$，结合θ＞0即可解得θ的最小值．

解答 解：（1）由图可得：函数函数y=Asin（ωx+ϕ）的最小值-|A|=-1，令A＞0，则A=1，
又∵$\frac{T}{4}$=$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$，ω＞0，
∴T=π，ω=2，
∴y=sin（2x+φ），
将（$\frac{7π}{12}$，-1）代入y=sin（2x+φ）得sin（$\frac{7π}{6}$+φ）=-1，
即$\frac{7π}{6}$+φ=2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
即φ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z
∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴y=sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），得g（x）=sin（2x+2θ+$\frac{π}{3}$）．
因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．
令2x+2θ+$\frac{π}{3}$=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$-θ，k∈Z．
由于函数y=g（x）的图象关于点（$\frac{7π}{12}$，0）成中心对称，令：$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$-θ=$\frac{7π}{12}$，
解得θ=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{3π}{4}$，k∈Z．由θ＞0可知，当k=2时，θ取得最小值$\frac{π}{4}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，其中关键是要根据图象分析出函数的最值，周期等，进而求出A，ω和φ值，属于中档题．