Question

1．若（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+（1+x）⁴+…+（1+x）⁷=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₇x⁷
（1）求a₀+a₁+a₂+…+a₇
（2）求a₁+a₃+a₅+a₇的值；
（3）求a₃的值．

Answer 1

分析 （1）令x=1，可得：a₀+a₁+a₂+…+a₇=2+2²+…+2⁷．
（2）令x=-1，可得：a₀-a₁+a₂+…-a₇=0．与（1）结合即可得出．
（3）a₃为x³的系数，可得a₃=${∁}_{3}^{3}+{∁}_{4}^{3}$+…+${∁}_{7}^{3}$，利用组合数的性质即可得出．

解答 解：（1）令x=1，可得：a₀+a₁+a₂+…+a₇=2+2²+…+2⁷=$\frac{2（{2}^{7}-1）}{2-1}$=2⁸-2=254．
（2）令x=-1，可得：a₀-a₁+a₂+…-a₇=0．
由（1）可得：a₀+a₁+a₂+…+a₇=254．
∴2（a₁+a₃+a₅+a₇）=254，解得a₁+a₃+a₅+a₇=127．
（3）a₃为x³的系数，
∴a₃=${∁}_{3}^{3}+{∁}_{4}^{3}$+…+${∁}_{7}^{3}$=${∁}_{5}^{4}$+${∁}_{5}^{3}$+${∁}_{6}^{3}$+${∁}_{7}^{3}$=${∁}_{7}^{4}+{∁}_{7}^{3}$=${∁}_{8}^{4}$=70．

点评 本题考查了二项式定理的应用、组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．