Question

9．在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=CC₁=2，则异面直线AB₁和BC₁所成角的余弦值为（　　）

• A． 0
• B． $\frac{1}{3}$
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂直为x轴，以AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB₁和BC₁所成角的余弦值．

解答 解：∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=CC₁=2，
∴以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂直为x轴，
以AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B₁（$\sqrt{3}$，1，2），B（$\sqrt{3}$，1，0），C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（$\sqrt{3}，1，2$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$，1，2），
设异面直线AB₁和BC₁所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{2}{\sqrt{8}•\sqrt{8}}$=$\frac{1}{4}$．
∴异面直线AB₁和BC₁所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．