Question

11．“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{a_n}中，a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*）则a₈=21；若a₂₀₁₈=m²+1，则数列{a_n}的前2016项和是m²．（用m表示）．

Answer 1

分析 ①由a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*），a₃=1+1=2，同理可得：a₄，a₅，a₆，a₇，a₈
②由于a₁=1，a₂=1，a_n+a_n+1=a_n+2（n∈N^*），可得a₁+a₂=a₃，a₂+a₃=a₄，a₃+a₄=a₅，…，a₂₀₁₆+a₂₀₁₇=a₂₀₁₈．以上累加求和即可得出

解答 解：①∵a₁=1，a₂=1，a_n+2=a_n+1+a_n（n∈N^*），∴a₃=1+1=2，
同理可得：a₄=3，a₅=5，a₆=8，则a₇=13，a₈，=21．
②∵a₁=1，a₂=1，a_n+a_n+1=a_n+2（n∈N^*），
∴a₁+a₂=a₃，
a₂+a₃=a₄，
a₃+a₄=a₅，
…，
a₂₀₁₅+a₂₀₁₆=a₂₀₁₇
a₂₀₁₆+a₂₀₁₇=a₂₀₁₈．
以上累加得，
a₁+a₂+a₂+a₃+a₃+a₄+…+2a₂₀₁₆+a₂₀₁₇=a₃+a₄+…+a₂₀₁₈，
∴a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₂₀₁₆=a₂₀₁₈-a₂=m²+1-1=m²，
故答案分别为：21； m²

点评 本题考查了递推关系、“累加求和”方法、“斐波那契数列”的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．