Question

1．抛物线C：y²=4x的焦点为F，准线为l，点P（x₀，y₀）（y₀＞0）抛物线C上，过P作抛物线C的切线l₁交l于点Q，过F作l₁的垂线l₂交抛物线C于A，B两点，记△ABQ的面积为S，求S的取值范围．

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，对抛物线方程两边对x求导，求得切线的斜率和方程，令x=-1，可得Q的坐标；由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得垂线l₂的斜率和方程，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，求得|AB|，由点到直线的距离公式可得Q到AB的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，即可得到所求面积的范围．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），准线为l：x=-1，
对抛物线y²=4x两边对x求导，可得2yy′=4，即y′=$\frac{2}{y}$，
可得切线l₁的斜率为$\frac{2}{{y}_{0}}$，切线的方程为y-y₀=$\frac{2}{{y}_{0}}$（x-x₀），
又y₀²=4x₀，即有y₀y=2（x+x₀），
令x=-1，可得Q（-1，$\frac{2（{x}_{0}-1）}{{y}_{0}}$），
垂线l₂的斜率为-$\frac{{y}_{0}}{2}$，方程为y=-$\frac{{y}_{0}}{2}$（x-1），
代入抛物线方程y²=4x，可得y₀²x²-（2y₀²+16）x+y₀²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得x₁+x₂=2+$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$，
由抛物线的定义可得|AB|=x₁+x₂+p=2+$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$+2=4+$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$，
Q到直线l₂的距离为d=$\frac{|-{y}_{0}-{y}_{0}+\frac{4（{x}_{0}-1）}{{y}_{0}}|}{\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}}$=$\frac{|-2{{y}_{0}}^{2}+4{x}_{0}-4|}{{y}_{0}\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}}{{y}_{0}}$，
则△ABQ的面积为S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}}{{y}_{0}}$•（4+$\frac{16}{{{y}_{0}}^{2}}$）=2•$\frac{\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}•（4+{{y}_{0}}^{2}）}{{{y}_{0}}^{3}}$，
由S²=4•（$\frac{4+{{y}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}$）³=4•（1+$\frac{4}{{{y}_{0}}^{2}}$）³＞4，可得S＞2．
可得S的取值范围是（2，+∞）．

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查抛物线的切线方程的求法，注意运用导数和点满足抛物线方程，直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，点到直线的距离公式，运用三角形的面积公式和化简整理的能力，属于中档题．