Question

12．已知直线l与圆O：x²+y²=$\frac{1}{2}$切于点P，与焦点为F的抛物线C：y²=4x相切于点Q，则S_△FPQ=（　　）

• A． 2
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 设直线l：y=kx+m，由直线和圆相切的条件：d=r，及直线和抛物线相切的条件：判别式为0，解方程可得k=m=1或-1，联立方程，解得P，Q的坐标，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，即可得到所求三角形的面积．

解答 解：设直线l：y=kx+m，
由直线l与圆O：x²+y²=$\frac{1}{2}$相切，可得
d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，①
又$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$可得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
直线l和抛物线y²=4x相切，可得△=（2km-4）²-4k²m²=0，
化为km=1，②
由①②解得k=m=1或k=m=-1，
由对称性可设直线l：y=x+1，
代入抛物线的方程可得x²-2x+1=0，可得切点Q（1，2），
代入圆的方程，可得4x²+4x+1=0，可得切点P（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
则|PQ|=$\sqrt{（1+\frac{1}{2}）^{2}+（2-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
F（1，0）到直线l的距离为d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
即有S_△FPQ=$\frac{1}{2}$d•|PQ|=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查三角形的面积的求法，注意运用直线和圆相切的条件：d=r，直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．