Question

13．已知抛物线E：y²=2px（p＞0）的焦点为F，过F作斜率为1的直线交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且y₁y₂=-1．
（1）求抛物线E的方程；
（2）过F作圆M：（x+$\frac{9}{2}$）²+y²=9的切线，切点分别为C，D，求$\overrightarrow{FC}$$•\overrightarrow{FD}$．

Answer 1

分析 （1）写出过AB的直线方程，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，两圆根与系数的关系求得p，则抛物线方程可求；
（2）求出抛物线的焦点坐标，得到以FM为直径的圆的方程，联立两圆方程求得C，D的坐标，由数量积的坐标运算得答案．

解答 解：（1）由抛物线E：y²=2px（p＞0），得F（$\frac{p}{2}，0$），
∴直线AB的方程为y=1×（x-$\frac{p}{2}$），即y=x-$\frac{p}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得y²-2py-p²=0．
∴y₁y₂=-p²=-1，即p=1．
∴抛物线E的方程为y²=2x；
（2）由（1）得，F（$\frac{1}{2}$，0），圆M：（x+$\frac{9}{2}$）²+y²=9的圆心M（-$\frac{9}{2}，0$），
则以FM为直径的圆的方程为$（x+2）^{2}+{y}^{2}=\frac{25}{4}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{（x+\frac{9}{2}）^{2}+{y}^{2}=9}\\{（x+2）^{2}+{y}^{2}=\frac{25}{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-\frac{27}{10}}\\{{y}_{1}=-\frac{12}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-\frac{27}{10}}\\{{y}_{2}=\frac{12}{5}}\end{array}\right.$．
不妨取C（$-\frac{27}{10}，-\frac{12}{5}$），D（$-\frac{27}{10}，\frac{12}{5}$），
则$\overrightarrow{FC}$$•\overrightarrow{FD}$=（$-\frac{27}{10}-\frac{1}{2}$，$-\frac{12}{5}$）•（$-\frac{27}{10}-\frac{1}{2}$，$\frac{12}{5}$）=$（-\frac{16}{5}）^{2}-\frac{144}{25}=\frac{112}{25}$．

点评 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查平面向量数量积的坐标运算，是中档题．