Question

10．盒中装有7个零件，其中4个是没有使用过的，3个是使用过的．
（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，有放回的抽取3次（不使用），求3次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率；
（Ⅱ）从盒中任意抽取3个零件，使用后放回盒子中，设X为盒子中使用过零件的个数，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记“从盒中随机抽取一个零件，抽到的是使用过零件”为事件A，求出P（A）=$\frac{3}{7}$，由此能求出三次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率．
（Ⅱ）从盒中任意抽取三个零件，使用后放回盒子中，设此时盒子中使用过的零件个数为X，由已知X=3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）记“从盒中随机抽取一个零件，抽到的是使用过零件”为事件A．（1分）
则P（A）=$\frac{3}{7}$．（3分）
所以三次抽取中恰有2次抽到使用过零件的概率p=${C}_{3}^{2}（\frac{3}{7}）^{2}（\frac{4}{7}）=\frac{108}{343}$．（5分）
（Ⅱ）从盒中任意抽取三个零件，使用后放回盒子中，设此时盒子中使用过的零件个数为X，
由已知X=3，4，5，6  （7分）
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{35}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{12}{35}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{18}{35}$，
P（X=6）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{4}{35}$，（10分）
随机变量X的分布列为：

X	3	4	5	6
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{4}{35}$

（11分）
E（X）=$3×\frac{1}{35}+4×\frac{12}{35}+5×\frac{18}{35}+6×\frac{4}{35}$=$\frac{33}{7}$．（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．