Question

11．设函数f（x）=alnx+bx²，若函数f（x）在x=1处与直线y=-$\frac{1}{2}$相切．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，由题意可得f（1）=-$\frac{1}{2}$，f′（1）=0，解方程即可得到所求值；
（2）研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．

解答 解∵（1）f（x）=alnx+bx²，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$+2bx，
∵函数f（x）在x=1处与直线y=-$\frac{1}{2}$相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=a+2b=0}\\{f（1）=b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=-$\frac{1}{2}$；
（2）f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²，
f′（x）=$\frac{1{-x}^{2}}{x}$，
当$\frac{1}{e}$≤x≤e时，
令f′（x）＞0得$\frac{1}{e}$≤x＜1，
令f′（x）＜0，得1＜x≤e，
∴f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]，上单调递增，
在[1，e]上单调递减，
∴f（x）_max=f（1）=-$\frac{1}{2}$．

点评 本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．