Question

20．如图，三棱锥P-ABC，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，设PD=x，∠BPC=θ，记函数f（x）=tanθ，则下列表述正确的是（　　）

• A． f（x）是关于x的增函数
• B． f（x）是关于x的减函数
• C． f（x）关于x先递增后递减
• D． 关于x先递减后递增

Answer 1

分析 由PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，利用x表示PA，PB，PC，由余弦定理得到关于x的解析式，进一步利用x表示tanθ，利用基本不等式求最值；然后判断选项．

解答 解：∵PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，PD=x，∠BPC=θ，
∴可求得：AC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{5}$，PA=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，PC=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，BP=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，
∴在△PBC中，由余弦定理知：cosθ=$\frac{P{B}^{2}+P{C}^{2}-B{C}^{2}}{2BP•PC}$=$\frac{2{x}^{2}+4}{2\sqrt{{x}^{2}+1}\sqrt{{x}^{2}+4}}$
∴tan²θ=$\frac{1}{co{s}^{2}θ}$-1=$\frac{（{x}^{2}+1）（{x}^{2}+4）}{（{x}^{2}+2）^{2}}$-1=$\frac{{x}^{2}}{（{x}^{2}+2）^{2}}$，
∴tanθ=$\frac{x}{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{x+\frac{2}{x}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{x•\frac{2}{x}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$（当且仅当x=$\sqrt{2}$时取等号）；
所以f（x）关于x先递增后递减．
故选：C．

点评 本题主要考查点、线、面的位置关系．直线与平面垂直的性质，余弦定理的应用，基本不等式的应用，属于中档题．