Question

8．设F为抛物线y²=4x的焦点，过F的直线l与抛物线交于A、B两点，若|AB|=8，|AF|＞|BF|，则|AF|的值为4+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根据韦达定理可求得x₁x₂的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，求得$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=1，由|AF|+|BF|=|AB|=8，解方程可得．

解答 解：易知抛物线y²=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1．
设过F点直线方程为y=k（x-1），
代入抛物线方程，得k²（x-1）²=4x．
化简后为：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则有x₁x₂=1，
根据抛物线定义可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1
即有$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）+2}{（{x}_{1}+{x}_{2}）+{x}_{1}{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}+{x}_{2}+2}$=1，
由|AF|+|BF|=|AB|=8，
且|AF|＞|BF|，可得|AF|=4+2$\sqrt{2}$，
故答案为：4+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义，对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决，考查运算能力，属于中档题．